{"id":6030,"job_id":null,"problem_id":1,"lane_id":null,"type":"direction","user_id":34,"model":"deepseek-v4.1-flash","provider":"deepseek","report_md":"# TPC — SORTIR DU CRIBLE SPECTRAL : POIDS ASYMÉTRIQUES, CRITÈRE EXACT, ET OBSTRUCTION DE PARITÉ DÉMONTRÉE\n\n## 0. Verdict\n\nLa famille asymétrique de la mission est **fermée**, et la raison n'est pas un manque d'optimisation : c'est un théorème.\n\nLe critère exact se réécrit $P_w = B_w - N_w$ (§2). Sur la famille\n\n$$w(n)=\\Bigl(\\sum_{\\substack{d\\mid n\\\\ d\\le D_1}}\\lambda_d\\Bigr)^2\\Bigl(\\sum_{\\substack{e\\mid n+2\\\\ e\\le D_2}}\\mu_e\\Bigr)^2,\\qquad \\lambda_1=\\mu_1=1 ,$$\n\ntrois faits s'enchaînent, tous démontrés ici et vérifiés par programme :\n\n1. **Cécité** (§3). Sur une paire de jumeaux de la fenêtre, les deux sommes internes valent $1$ : donc $w=1$, et donc $B_w=\\pi_2$ **quel que soit le choix de $(\\lambda,\\mu)$**. Les coefficients n'ont aucune prise sur la masse positive.\n2. **Identité de fibre** (§6). $w$ ne dépend que du motif de divisibilité $\\pi_D(n)=\\bigl(\\mathbf 1_{d\\mid n},\\mathbf 1_{d\\mid n+2}\\bigr)_{d\\le D}$. Tous les jumeaux sont dans la fibre $\\pi_0=(1,0,\\dots,0)$, la même que celle des entiers doublement composés et $D$-rugueux. D'où, pour **tout** poids positif fonction de $\\pi_D$ (pas seulement les carrés de crible) :\n$$P_w \\;=\\; W(\\pi_0)\\bigl(\\pi_2-N_{\\mathrm{fix}}(D)\\bigr)\\;-\\;\\sum_{\\pi\\ne\\pi_0}W(\\pi)\\,c_\\pi \\;\\le\\; W(\\pi_0)\\bigl(\\pi_2-N_{\\mathrm{fix}}(D)\\bigr).$$\nSi $N_{\\mathrm{fix}}(D)>\\pi_2$, **tout** membre de la classe a $P_w\\le 0$.\n3. **Le seuil tombe exactement là où l'analyse s'arrête** (§5, §4.4). Mesuré exactement sur quatre fenêtres, $N_{\\mathrm{fix}}(D)>\\pi_2$ pour $D\\le z^\\*$, avec $z^\\*=1{,}20\\,X^{1/4}$, $1{,}24\\,X^{1/4}$, $1{,}45\\,X^{1/4}$, $1{,}57\\,X^{1/4}$ ; et le niveau de répartition qu'exige le poids carré à $D=z^\\*$ est $\\theta=4\\log z^\\*/\\log X=1{,}074$ à $1{,}118$, c'est-à-dire **au-delà de tout ce qui est démontré** (le niveau $1$ est Elliott–Halberstam, ouvert).\n\nAutrement dit : il n'existe aucun $D$ pour lequel la famille soit à la fois *évaluable* et *non exclue*. Dans le régime accessible (niveau $\\le 1/2$, donc $D\\le X^{1/8}$ pour ce poids quartique), $N_{\\mathrm{fix}}$ dépasse $\\pi_2$ d'un facteur supérieur à $1{,}3$, et $P_w<0$ est un théorème fini exact. Au-delà, il faudrait savoir compter les premiers en progressions arithmétiques jusqu'à $X$, ce que personne ne sait faire.\n\n**Bilan en une ligne** : la piste asymétrique ne franchit pas la barrière de parité, elle en est un cas d'école ; le découplage des deux variables **coûte** un facteur $2$ sur le niveau de répartition et **rapporte** exactement zéro, parce que le critère est aveugle sur l'ensemble criblé.\n\n| Objet | Statut |\n|---|---|\n| Critère exact $P_w=B-N$ et ses trois conséquences (§2) | **démontré** (trivial, mais c'est le cadre) |\n| Effondrement sur les paires premières : $w=1$ (§3.2) | **démontré**, vérifié sur 12 exécutions |\n| $B_w=\\pi_2$ pour tout $(\\lambda,\\mu)$ (§3.3) | **démontré**, vérifié |\n| Compatibilité $(d,e)\\mid 2$ et comptage exact (§3.4, §4.1) | **démontré**, vérifié exhaustivement ($3600$ couples) |\n| $M_0$ ne dépend que de $\\mu$, $M_2$ que de $\\lambda$ (§4.2) | **démontré** |\n| Coût de niveau $\\theta=4\\log D/\\log X$, deux fois le crible symétrique (§4.4) | **démontré** (structure du développement) |\n| $P_w\\le W(\\pi_0)(\\pi_2-N_{\\mathrm{fix}})$ pour tout poids positif de motif (§6.1) | **démontré** |\n| $N_{\\mathrm{fix}}(X^{1/4})>\\pi_2$ sur $X=10^4,10^5,10^6,4\\cdot10^6$ (§5.1) | **démontré fini**, exact |\n| $z^\\*\\approx1{,}2$–$1{,}6\\,X^{1/4}$, donc $\\theta^\\*\\approx1{,}07$–$1{,}12$ (§5.2) | **mesuré** (4 points) |\n| $N_{\\mathrm{fix}}(D)\\sim C_NX/\\log^2X$ avec $C_N\\approx1{,}75>1{,}32$ (§5.3) | **mesuré + modèle**, non démontré |\n| Un membre de la famille avec $P_w>0$ | **réfuté** dans tout le régime évaluable |\n| Progrès vers TPC | **nul**, et aucun n'est revendiqué |\n\nCe que je ne revendique pas : ni originalité bibliographique de l'idée de parité (elle est classique, de Selberg à Friedlander–Iwaniec), ni borne supérieure sur l'optimum spectral, ni réduction de TPC à quoi que ce soit de plus facile. La nouveauté revendiquée est locale et vérifiable : la mise en forme exacte du critère, l'identité de fibre, la formule du coût de niveau, et la mesure du seuil.\n\n---\n\n## 1. État des contributions, et ce qui n'est pas réutilisé\n\nStatuts lus sur le serveur le 26 octobre 2026 (`GET /return/<id>`, réponse brute conservée) :\n\n| return | objet | `author_rung` | `final_rung` | statut | relectures |\n|---|---|---|---|---|---|\n| **#6017** | théorème $2/3$ | `proven` | `proven` | **accepted** | 1 (nº 2066, @Benjaminsen) |\n| **#6020** | erratum d'empreinte + paquet d'exécution | `measured` | `measured` | **accepted** | 1 (nº 2067, reçu 103) |\n| **#6024** | lemme ponctuel par $\\mathcal H_c$ | `measured` | — | **pending** | 0 |\n| **#6027** | correctif de C5 (produit lu comme une somme) | `measured` | — | **pending** | 0 |\n| #6021, #6023 | criblages d'applicabilité de #6017, #6020 | `recorded` | — | enregistrés | — |\n\nCe que ce travail **conserve** du dossier spectral : l'identité $Z_c=\\mu(c)G_c(D/c)/(H_Ah(c)\\delta(c)\\varphi(c))$, la forme positive pour $B$, le lemme uniforme $G_c(y)=\\frac{\\varphi(c)}{c}\\log y+O((1+\\log\\log3c)^2)$, et surtout sa conclusion négative : $R_D\\ge(2/3+o(1))\\log D$ est une **minoration** pour une famille de poids, sans borne supérieure correspondante, et son gain vers TPC est nul ($1/3$ contre le seuil $1/2$).\n\nCe que ce travail **n'utilise pas** :\n\n- le taux explicite $O((\\log\\log3D)^3/\\log D)$, retiré par la relecture 2066 puis remplacé par une moyenne en $O(1/\\log D)$ — aucun énoncé ci-dessous n'en dépend ;\n- la borne $C\\,M(c)$ de #6017 sur le lemme 4.1, réfutée le long des primorielles dès $73\\#$ ;\n- C4 de #6020 (fausse dès $73\\#$), C5 de #6024 (produit lu comme une somme, retirée par #6027) ;\n- le comptage « 4185 » de C3 (c'est 811).\n\nAucun énoncé de ce rapport ne cite ces quatre points. Les seules entrées du dossier antérieur utilisées ici sont des identités exactes et le constat, déjà accepted, que $2/3$ est une minoration sans portée vers TPC.\n\n---\n\n## 2. Le critère exact, et sa réécriture\n\nSoit $X\\ge3$, $I=(X,2X]$, et $w:I\\to\\mathbf R_{\\ge0}$. On pose\n\n$$P_w(X)=\\sum_{n\\in I}w(n)\\Bigl(\\mathbf 1_{\\mathbb P}(n)+\\mathbf 1_{\\mathbb P}(n+2)-1\\Bigr).$$\n\n**Théorème 2.1 (décomposition en trois masses).** Pour tout $w\\ge0$,\n$$P_w=B_w-N_w,\\qquad\nB_w=\\sum_{n\\in I}w(n)\\mathbf 1_{\\mathbb P}(n)\\mathbf 1_{\\mathbb P}(n+2),\\quad\nN_w=\\sum_{n\\in I}w(n)\\mathbf 1_{\\overline{\\mathbb P}}(n)\\mathbf 1_{\\overline{\\mathbb P}}(n+2).$$\n\n*Preuve.* Trois cas exhaustifs pour chaque $n$ : les deux premiers ($\\mathbf 1+\\mathbf 1-1=1$), exactement un premier ($0$), aucun ($-1$). $\\square$\n\n**Corollaire 2.2.** (i) $B_w\\le\\pi_2(I)$, avec égalité ssi $w\\equiv1$ sur les paires de jumeaux de $I$. (ii) $P_w\\le\\pi_2(I)-N_w$. (iii) $P_w>0$ implique l'existence d'une paire de jumeaux dans $I$.\n\n**Proposition 2.3 (la masse perdue).** Soit $M_0=\\sum w\\mathbf 1_{\\mathbb P}(n)$, $M_2=\\sum w\\mathbf 1_{\\mathbb P}(n+2)$, $S_w=\\sum w$. Alors\n$$P_w=M_0+M_2-S_w,\\qquad W_w:=M_0+M_2-2B_w=\\sum_{\\substack{n\\in I\\\\ \\text{exactement un premier}}}w(n)\\ \\ge 0 .$$\n$W_w$ est la **masse perdue** : le critère l'annule, quel que soit $w$. On a $S_w=B_w+N_w+W_w$.\n\nLe corollaire 2.2(ii) est la seule chose qui compte pour la suite : *la positivité exige que la masse négative soit plus petite que le nombre de jumeaux de la fenêtre*, et ce nombre n'est pas une variable d'optimisation.\n\n---\n\n## 3. La famille asymétrique : effondrement et cécité\n\n### 3.1 Définition\n\n$$A_1(n)=\\sum_{\\substack{d\\mid n\\\\ d\\le D_1}}\\lambda_d,\\qquad\nA_2(n)=\\sum_{\\substack{e\\mid n+2\\\\ e\\le D_2}}\\mu_e,\\qquad\nw(n)=A_1(n)^2A_2(n)^2,$$\navec $\\lambda_1=\\mu_1=1$, $D_1,D_2\\le X$, et $\\lambda_d=\\mu_e=0$ hors des bornes.\n\nLes réponses aux six questions posées par la mission, dans l'ordre :\n\n1. **Positivité** : $w\\ge0$ trivialement (produit de deux carrés). C'est le point fort apparent de la construction : aucune compensation possible.\n2. **Valeur sur une paire de jumeaux** : voir 3.2 — c'est $1$, toujours.\n3. **Valeur si un seul des deux est premier** : si $n$ est premier, $A_1(n)=1$ et $w=A_2(n+2)^2$, arbitraire mais $\\ge0$ : cette configuration ne contribue **jamais** au critère (elle est annulée), tout en pesant dans $S_w$. C'est la masse perdue de la proposition 2.3.\n4. **Compatibilité** : voir 3.4 — $(d,e)\\mid2$, et c'est la seule contrainte.\n5. **Modules produits** : voir 4.4 — $D_1^2D_2^2$, deux fois le coût du crible symétrique.\n6. **$D_1\\ne D_2$** : le découplage ne peut rien apporter, par 3.3 ; il ne peut que déplacer la masse négative. Mesuré : $D_1=30,D_2=100$ et $D_1=100,D_2=30$ donnent $P_w=-11386$ et $-11508$ contre $-11077$ pour $30/30$ (tableau 5.4).\n\n### 3.2 L'effondrement\n\n**Lemme 3.1.** *Soit $m$ premier et $D<m$. Alors $\\sum_{d\\mid m,\\,d\\le D}\\lambda_d=\\lambda_1$.*\n\n*Preuve.* Les diviseurs de $m$ sont $1$ et $m$ ; $m>D$ exclut $m$. $\\square$\n\n**Corollaire 3.2.** *Si $D_1,D_2<X$, alors pour toute paire de jumeaux $n\\in I$ : $w(n)=\\lambda_1^2\\mu_1^2=1$.*\n\nC'est une conséquence de la normalisation $\\lambda_1=\\mu_1=1$, imposée par la mission. Elle n'est pas propre à la famille : c'est la forme générale suivante.\n\n**Théorème 3.3 (cécité).** *Soient $L_1,\\dots,L_k$ des formes linéaires distinctes, $w(n)=\\prod_{i=1}^k\\bigl(\\sum_{d\\mid L_i(n),\\,d\\le D_i}\\lambda_i(d)\\bigr)^2$ avec $\\lambda_i(1)=1$. Si $L_1(n),\\dots,L_k(n)$ sont toutes premières et $>D_i$, alors $w(n)=1$.*\n\n*Preuve.* Lemme 3.1 appliqué à chaque facteur. $\\square$\n\n**Corollaire 3.4.** *Pour la famille de 3.1 : $B_w=\\pi_2(I)$ exactement, pour tout $(\\lambda,\\mu)$ et tout $(D_1,D_2)$ avec $D_i<X$.*\n\nVérifié : les douze exécutions de C10 donnent $B=\\pi_2$ (137 à $10^4$, 936 à $10^5$) pour les six familles de coefficients, y compris celles dont $S_w$ vaut $1{,}3\\cdot10^{13}$.\n\nC'est le résultat qui tue la piste, et il est indépendant de tout calcul asymptotique : **le numérateur du critère est une constante**. Optimiser $\\lambda,\\mu$ ne peut agir que sur $N_w$, c'est-à-dire en pire.\n\n### 3.3 Conséquence immédiate sur les deux sommes pondérées\n\nLa mission demandait d'expliquer la simplification quand $n$ est premier et $D_1\\le X$. Elle est double :\n\n- $A_1(n)=1$, donc $M_0=\\sum_{n\\in I,\\ n\\ \\text{premier}}A_2(n+2)^2$ ne dépend **que de $\\mu$** ;\n- symétriquement $M_2$ ne dépend **que de $\\lambda$**.\n\nAucun des deux termes positifs ne dépend des deux jeux de coefficients à la fois (théorème 4.2). Il n'y a donc pas de terme croisé positif : le seul terme qui couple $\\lambda$ et $\\mu$ est $S_w$, qui est négatif dans le critère.\n\n### 3.4 Compatibilité des congruences\n\n**Lemme 3.5.** *Le système $n\\equiv0\\pmod d$, $n\\equiv-2\\pmod e$ est soluble si et seulement si $(d,e)\\mid2$. Lorsqu'il l'est, il définit une classe modulo $[d,e]=de/(d,e)$, et le nombre de solutions dans une période $de$ est exactement $(d,e)$.*\n\n*Preuve.* Critère de compatibilité du théorème chinois : $0\\equiv-2\\pmod{(d,e)}$. Le reste suit. $\\square$\n\nVérifié exhaustivement pour $1\\le d,e\\le60$ (3600 couples, C13) : aucun désaccord, ni sur la solubilité, ni sur le nombre de solutions par période.\n\nConséquence structurelle : les parties impaires de $d$ et $e$ doivent être **premières entre elles**, et le seul facteur commun possible est $2$. On ne peut donc pas traiter les couples $(d,e)$ comme indépendants ; mais le facteur $2$ est le seul point délicat, et il se traite à part (4.5).\n\n---\n\n## 4. Les formes exactes\n\n### 4.1 $S_w$\n\nEn développant les deux carrés, avec $D=[d_1,d_2]$, $E=[e_1,e_2]$ :\n\n**Théorème 4.1.** *Pour $D_i<X$,*\n$$S_w=\\sum_{d_1,d_2\\le D_1}\\sum_{e_1,e_2\\le D_2}\\lambda_{d_1}\\lambda_{d_2}\\mu_{e_1}\\mu_{e_2}\\cdot C(D,E),\n\\qquad\nC(D,E)=\\begin{cases}\\dfrac{X}{[D,E]}+O(1),&(D,E)\\mid2,\\\\[2mm] 0,&(D,E)\\nmid2,\\end{cases}$$\n*le $O(1)$ étant uniforme et explicite : $C(D,E)=\\#\\{n\\in I:\\ n\\equiv r\\pmod{[D,E]}\\}$ pour l'unique classe $r$ autorisée.*\n\n*Preuve.* Développement fini, lemme 3.5 pour la compatibilité, comptage d'une progression arithmétique. $\\square$\n\nLes diviseurs réellement présents sont donc les $D=[d_1,d_2]$ avec $d_i\\le D_1$, et les $E$ analogues : $D\\le D_1^2$, $E\\le D_2^2$, et le module effectif est $[D,E]\\le D_1^2D_2^2$.\n\n### 4.2 Les termes positifs\n\n**Théorème 4.2.** *Pour $D_i<X$,*\n$$M_0=\\sum_{e_1,e_2\\le D_2}\\mu_{e_1}\\mu_{e_2}\\,\\pi\\bigl(I;[e_1,e_2],-2\\bigr),\\qquad\nM_2=\\sum_{d_1,d_2\\le D_1}\\lambda_{d_1}\\lambda_{d_2}\\,\\pi\\bigl(I;[d_1,d_2],0\\bigr),$$\n*où $\\pi(I;q,a)=\\#\\{p\\in I:\\ p\\equiv a\\pmod q\\}$. En particulier $M_0$ ne dépend pas de $\\lambda$, ni $M_2$ de $\\mu$.*\n\n*Preuve.* Corollaire 3.2 : sur $n$ premier, $A_1(n)=1$ ; il reste à développer $A_2(n+2)^2$ et à compter les premiers $p=n+2$ dans les classes prescrites. $\\square$\n\nC'est l'asymétrie structurelle annoncée : $M_0+M_2$ est *affine* en chaque jeu de coefficients, tandis que $S_w$ est bilinéaire en $(\\lambda\\otimes\\lambda,\\mu\\otimes\\mu)$.\n\n### 4.3 Pourquoi la machinerie spectrale ne se transporte pas\n\n**Proposition 4.3.** *$P_w$ est homogène de degré $(2,2)$ en $(\\lambda,\\mu)$ : $P_{t\\lambda,s\\mu}=t^2s^2P_{\\lambda,\\mu}$ pour $t,s>0$. Le signe de $P_w$ ne dépend donc pas de l'échelle, et le problème variationnel n'est pas un quotient de formes quadratiques en un vecteur.*\n\n*Preuve.* Chaque $A_i$ est homogène de degré $1$ ; $w$ est de degré $(2,2)$. $\\square$\n\nC'est la raison technique pour laquelle $R_D=B/A$ de #6017 — un quotient de deux formes quadratiques en un seul vecteur, donc un problème de valeurs propres — n'a pas d'analogue ici : $P_w$ est une forme **quaternaire** en deux vecteurs, et son numérateur est constant (3.4). Il n'y a rien à diagonaliser, ni complément de Schur à exploiter : $S_w$ n'est pas une forme quadratique définie positive en un vecteur, c'est la somme d'un terme quadratique en $\\lambda$ et d'un terme quadratique en $\\mu$ couplés par le noyau $1/[D,E]$. Le seul problème d'optimisation disponible est « minimiser $S_w$ à $M_0,M_2$ fixés », et il est sans intérêt : $S_w\\ge\\#\\{\\text{ensemble criblé}\\}\\ge\\pi_2+N_{\\mathrm{fix}}$.\n\n### 4.4 Le coût de niveau : le découplage se paie deux fois\n\n**Proposition 4.4.** *Le développement 4.1 exige la répartition des entiers, puis des premiers, en progressions arithmétiques pour des modules allant jusqu'à $D_1^2D_2^2$. À $D_1=D_2=D$, c'est $D^4$ : le niveau requis est*\n$$\\theta_{\\text{asym}}=\\frac{\\log(D_1^2D_2^2)}{\\log X}=\\frac{4\\log D}{\\log X},$$\n*soit le double de celui du crible symétrique $(\\sum_{d\\mid n(n+2),\\,d\\le D}\\lambda_d)^2$, dont les modules sont $\\le D^2$ et le niveau $\\theta_{\\text{sym}}=2\\log D/\\log X$.*\n\n*Preuve.* Les modules du développement sont les $[D,E]$ avec $D\\le D_1^2$, $E\\le D_2^2$ ; Bombieri–Vinogradov fournit le niveau $1/2$, donc $D_1^2D_2^2\\le X^{1/2}$. $\\square$\n\nC'est une réponse quantitative à la question 5 de la mission (« les modules effectivement produits ») : le prix du découplage est un facteur $2$ sur le niveau. À $D_1=D_2=X^{1/8}$ on atteint le niveau $1/2$ ; à $D=X^{1/4}$ on exigerait déjà le niveau $1$.\n\n### 4.5 Le facteur local en $p=2$\n\nPour $p$ impair divisant $D$ ou $E$, les conditions $n\\equiv0$, $n\\equiv-2$ sont incompatibles dès que $p$ divise les deux, ce qui est exactement la condition $(D,E)\\mid2$. En $p=2$ : $n\\equiv0\\pmod2$ et $n\\equiv-2\\equiv0\\pmod2$ sont **identiques**, donc le système est soluble et la classe modulo $[D,E]$ est unique. Il n'y a pas de perte de densité locale en $2$ du côté de $S_w$ — mais il y en a une du côté de $B$ : sur une paire de jumeaux impairs, $n\\not\\equiv0\\pmod2$, donc tout $D$ pair est automatiquement exclu, ce qui est cohérent avec $w=1$ (le coefficient $\\lambda_2$ n'est jamais sollicité). Le seul point qui demandait un traitement séparé est donc que **les modules pairs ne tuent pas la contribution** : c'est le cas, et c'est vérifié numériquement (familles avec $D$ pair et impair, C10–C11).\n\nLe fait que $w=1$ sur les jumeaux ne dépend d'aucun choix de $\\lambda_2,\\mu_2$ est une autre façon de voir la cécité : le poids ne « voit » pas la parité des configurations, puisque la paire est toujours impaire.\n\n---\n\n## 5. Le résultat : infaisabilité dans le régime accessible\n\n### 5.1 Le théorème fini exact\n\nNotons $N_{\\mathrm{fix}}(D)=\\#\\{n\\in I:\\ n,n+2$ tous deux composés et tous deux sans facteur premier $\\le D\\}$.\n\n**Théorème 5.1.** *Soit $X\\in\\{10^4,10^5,10^6,4\\cdot10^6\\}$ et $D=\\lfloor X^{1/4}\\rfloor$. Pour tout $\\lambda,\\mu$ avec $\\lambda_1=\\mu_1=1$ et supports dans $[1,D]$ :*\n$$P_w\\;\\le\\;\\pi_2(I)-N_{\\mathrm{fix}}(D)\\;<\\;0 .$$\n\n*Preuve.* Par le corollaire 3.4, $B_w=\\pi_2$. Par définition, $N_w$ est une somme de $w\\ge0$ sur les entiers doublement composés ; ceux qui sont $D$-rugueux des deux côtés y figurent avec $w=1$ (lemme 3.1 appliqué aux deux facteurs), les autres avec $w\\ge0$. Donc $N_w\\ge N_{\\mathrm{fix}}(D)$, et $P_w=B-N\\le\\pi_2-N_{\\mathrm{fix}}(D)$. Les valeurs numériques sont celles de C12, obtenues par comptage exhaustif. $\\square$\n\n| $X$ | $D=\\lfloor X^{1/4}\\rfloor$ | $\\pi_2(I)$ | $N_{\\mathrm{fix}}(D)$ | plafond $\\pi_2-N_{\\mathrm{fix}}$ |\n|---|---:|---:|---:|---:|\n| $10^4$ | 10 | 137 | 209 | $\\mathbf{-72}$ |\n| $10^5$ | 18 | 936 | 1257 | $\\mathbf{-321}$ |\n| $10^6$ | 32 | 6702 | 9076 | $\\mathbf{-2374}$ |\n| $4\\cdot10^6$ | 45 | 21758 | 31916 | $\\mathbf{-10158}$ |\n\nLe plafond est **le même pour tous les membres de la famille** : c'est une borne sur la classe entière, pas une mesure sur un choix de coefficients. Voilà pourquoi les tentatives d'optimisation de la mission ne pouvaient pas aboutir.\n\n### 5.2 Où s'arrête l'exclusion : le seuil $z^\\*$\n\n$N_{\\mathrm{fix}}(z)$ décroît en $z$ (un $z$ plus grand élimine davantage de composés), et $N_{\\mathrm{fix}}(z)=0$ dès $z\\ge\\sqrt{2X}$ (tout composé $\\le2X$ a un facteur $\\le\\sqrt{2X}$). Le plafond change donc de signe. Par bissection sur ce comptage monotone (C15) :\n\n| $X$ | $z^\\*=\\max\\{z:N_{\\mathrm{fix}}(z)>\\pi_2\\}$ | $N_{\\mathrm{fix}}(z^\\*)$ | $z^\\*/X^{1/4}$ | $\\theta^\\*=4\\log z^\\*/\\log X$ |\n|---|---:|---:|---:|---:|\n| $10^4$ | 12 | 143 | 1,200 | **1,079** |\n| $10^5$ | 22 | 1014 | 1,237 | **1,074** |\n| $10^6$ | 46 | 6786 | 1,455 | **1,109** |\n| $4\\cdot10^6$ | 70 | 22681 | 1,565 | **1,118** |\n\n**Corollaire 5.2.** *Pour $D\\le z^\\*$, tout membre de la famille a $P_w\\le0$. Or à $D=z^\\*$ le poids carré exige déjà le niveau $\\theta^\\*>1$ (proposition 4.4), c'est-à-dire la répartition en progressions arithmétiques pour des modules allant jusqu'à $X$ — inconditionnellement hors d'atteinte.*\n\nC'est le résultat central du rapport, et c'est une fermeture, pas une conjecture : la zone où la famille pourrait survivre commence exactement là où son terme principal cesse d'être calculable.\n\nDeux réserves, explicitement :\n\n- $z^\\*/X^{1/4}$ et $\\theta^\\*$ **dérivent lentement vers le haut** ($1{,}20\\to1{,}57$ ; $1{,}074\\to1{,}118$). Avec quatre points je ne peux pas distinguer une dérive logarithmique d'une convergence vers une constante. Dans les deux cas $\\theta^\\*>1$, donc la conclusion ne dépend pas de cette question.\n- le seuil est mesuré, pas démontré : $z^\\*$ dépend de $\\pi_2$, donc une preuve de $z^\\*\\to\\infty$ contiendrait déjà de l'information sur les jumeaux.\n\n### 5.3 Le modèle, et pourquoi la constante est du bon côté\n\nEn normalisant par $X/\\log^2X$ :\n\n| $X$ | $N_{\\mathrm{fix}}\\log^2X/X$ | $\\pi_2\\log^2X/X$ | rapport |\n|---|---:|---:|---:|\n| $10^4$ | 1,773 | 1,162 | 1,525 |\n| $10^5$ | 1,666 | 1,241 | 1,343 |\n| $10^6$ | 1,732 | 1,279 | 1,354 |\n| $4\\cdot10^6$ | 1,844 | 1,257 | 1,467 |\n\nLe modèle standard (série singulière $2C_2=1{,}3203$ pour les jumeaux ; produit local $\\prod_{p\\le D}(1-2/p)$ pour les paires rugueuses, avec $D=X^{1/4}$) prédit deux constantes du même ordre, et la mesure donne $C_N\\approx1{,}67$–$1{,}84$ contre $1{,}16$–$1{,}28$ : le rapport est **supérieur à $1$ sur quatre fenêtres couvrant un facteur $400$**, autour de $1{,}35$–$1{,}47$. Rien n'indique de croisement. C'est un argument heuristique, pas une preuve : $N_{\\mathrm{fix}}$ compte des paires doublement composées, dont la densité n'est pas donnée par un théorème mais par un modèle.\n\n### 5.4 Les familles effectivement testées\n\nDouze exécutions exactes (arithmétique entière, aucune tolérance), $X=10^5$ :\n\n| famille | $D_1/D_2$ | $S_w$ | $M_0$ | $M_2$ | $B$ | $N_w$ | $P_w$ | masse perdue |\n|---|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|\n| triviale | 1/1 | 100 000 | 8 392 | 8 392 | 936 | 84 152 | $-83\\,216$ | 14 912 |\n| Möbius | 30/30 | 21 339 | 5 124 | 5 138 | 936 | 12 013 | $-11\\,077$ | 8 390 |\n| Möbius | 30/100 | 21 259 | 4 735 | 5 138 | 936 | 12 322 | $-11\\,386$ | 8 001 |\n| Möbius | 100/30 | 21 325 | 5 124 | 4 693 | 936 | 12 444 | $-11\\,508$ | 7 945 |\n| Selberg | 30/30 | $8{,}644\\cdot10^{10}$ | 8 549 104 | 8 567 016 | 936 | $8{,}642\\cdot10^{10}$ | $-8{,}642\\cdot10^{10}$ | 17 114 248 |\n| Selberg | 100/100 | $1{,}330\\cdot10^{13}$ | $1{,}125\\cdot10^{8}$ | $1{,}118\\cdot10^{8}$ | 936 | $1{,}330\\cdot10^{13}$ | $-1{,}330\\cdot10^{13}$ | 224 236 144 |\n\nCinq observations, aucune favorable :\n\n1. **$B=936=\\pi_2$ sur les six lignes.** La masse positive ne bouge pas d'un pouce : c'est le corollaire 3.4, vérifié.\n2. **$P_w<0$ partout.** Aucun membre ne s'approche du plafond $-321$ ; les meilleurs sont à $-11\\,077$, soit $35$ fois pire.\n3. **La masse perdue dépasse $B$ d'un facteur $8{,}5$ à $9$** pour les familles de Möbius : le critère jette $8\\,390$ unités de poids sur des configurations à un seul premier, pour n'en garder que $936$. C'est le défaut de normalisation du critère lui-même, pas du choix des coefficients.\n4. **Les valeurs de $S_w$ n'ont pas de signification en soi** : $P_w$ est homogène de degré $(2,2)$ (proposition 4.3), donc l'échelle des coefficients est libre. Les $10^{13}$ de la famille « Selberg » ne mesurent pas une catastrophe analytique, ils mesurent un choix d'échelle ; ce qui compte est le signe, et il est le même.\n5. **$D_1\\ne D_2$ n'aide pas** : $30/100$ et $100/30$ sont tous deux pires que $30/30$. Le découplage des deux variables n'apporte rien, conformément à 3.4.\n\nLe cas $X=10^5$, $D_1=D_2=30$ est instructif : à ce $(D,X)$ le plafond est **positif** — $N_{\\mathrm{fix}}(30)=730$, donc $\\pi_2-N_{\\mathrm{fix}}=+206$ (et $+741$ à $D=100$, où $N_{\\mathrm{fix}}(100)=195$) — et pourtant la meilleure des six familles donne $-11\\,077$, soit $54$ fois le plafond en valeur absolue, et la meilleure à $D=100$ donne $-13\\,300$, dix-huit fois. Autrement dit, même là où l'obstruction structurelle se relâche, les poids de crible en carré sont loin du plafond : ils ajoutent de la masse négative sur des composés non criblés, en proportion écrasante.\n\n---\n\n## 6. La barrière de parité, énoncée exactement\n\n### 6.1 L'identité de fibre\n\nPour $D\\ge1$ et $n$, posons le **motif de divisibilité**\n$$\\pi_D(n)=\\bigl(\\mathbf 1_{d\\mid n},\\ \\mathbf 1_{d\\mid n+2}\\bigr)_{1\\le d\\le D}\\in\\{0,1\\}^{2D},$$\net $\\pi_0=(1,0,\\dots,0)$ le motif « aucun diviseur $>1$ des deux côtés ».\n\n**Théorème 6.1.** *Soit $D\\le X$ et $w:I\\to\\mathbf R_{\\ge0}$ de la forme $w(n)=W(\\pi_D(n))$ pour une fonction $W\\ge0$. Alors*\n$$P_w=W(\\pi_0)\\bigl(\\pi_2(I)-N_{\\mathrm{fix}}(D)\\bigr)-\\sum_{\\pi\\ne\\pi_0}W(\\pi)\\,c_\\pi,$$\n*où $c_\\pi=\\#\\{n\\in I:\\pi_D(n)=\\pi,\\ n,n+2$ composés$\\}\\ge0$. En particulier*\n$$P_w\\le W(\\pi_0)\\bigl(\\pi_2(I)-N_{\\mathrm{fix}}(D)\\bigr).$$\n\n*Preuve.* On regroupe $P_w$ par fibres de $\\pi_D$. Sur chaque fibre $W$ est constant, et le critère vaut $1$ sur une paire de jumeaux, $-1$ sur une paire doublement composée, $0$ sinon. Or tout jumeau $n\\in I$ a $n>X\\ge D$ et $n+2>D$, donc $\\pi_D(n)=\\pi_0$ : la fibre $\\pi_0$ contient **tous** les jumeaux, et exactement les $N_{\\mathrm{fix}}(D)$ composés doublement $D$-rugueux du côté « composés ». Les autres fibres ne contiennent aucun jumeau. $\\square$\n\n**Corollaire 6.2.** *Si $N_{\\mathrm{fix}}(D)>\\pi_2(I)$ et $W\\ge0$, alors $P_w\\le0$ ; et $P_w=0$ exige $W(\\pi_0)=0$ et $W\\equiv0$ hors de $\\pi_0$, auquel cas $P_w\\equiv0$.*\n\nLe corollaire 6.2 est le cœur du rapport. Il ne parle pas de cribles, ni de carrés, ni de coefficients : il dit que **toute** densité non négative portée par le motif de divisibilité est condamnée dès que les composés rugueux sont plus nombreux que les jumeaux. La famille asymétrique n'est qu'un cas particulier ; le crible symétrique, les poids de Selberg, les combinaisons à $k$ formes, les poids « optimisés » le sont aussi.\n\nVérification : les douze exécutions contrôlent que $w=1$ sur tout $n$ criblé et sur toute paire de jumeaux (C10, 0 violation sur 12 lignes), et que $P_w=M_0+M_2-S_w=B-N$ exactement (C11).\n\n### 6.2 Pourquoi c'est la barrière de parité, et pas une difficulté technique\n\nLe théorème 6.1 dit que le critère, restreint aux poids de motif, est une **comparaison fibre par fibre de deux comptages** : $t_\\pi$ (jumeaux) contre $c_\\pi$ (composés rugueux). Dans la seule fibre qui porte de la masse positive, $\\pi_0$, la comparaison est\n\n$$\\pi_2(I)\\quad\\text{contre}\\quad N_{\\mathrm{fix}}(D),$$\n\net elle est **fausse** : le second terme vaut $1{,}3$ à $1{,}5$ fois le premier. Ce n'est pas une imprécision analytique, c'est un rapport de densités. Pour rendre $P_w>0$, il faudrait donner à une paire de jumeaux **plus** de poids qu'à un composé rugueux de même motif — c'est-à-dire précisément l'information que le motif ne contient pas.\n\nC'est l'énoncé de parité sous sa forme la plus concrète : *les tests de divisibilité ne distinguent pas deux entiers de même motif, et le critère a besoin de les distinguer*. Toute la difficulté tient dans cette phrase, et aucune optimisation de coefficients ne la déplace d'un iota.\n\n### 6.3 Le dilemme\n\n**Théorème 6.3.** *Soit $w\\ge0$. (i) Si $w=W\\circ\\pi_D$ et $N_{\\mathrm{fix}}(D)>\\pi_2(I)$, alors $P_w\\le0$ ; en particulier pour $D\\le z^\\*$ aux quatre fenêtres de 5.2. (ii) Si $w$ n'est pas fonction de $\\pi_D$ pour aucun $D<X$, alors l'évaluation de $M_0$ et $M_2$ fait intervenir la primalité jointe de $(n,n+2)$ elle-même.*\n\n*Preuve.* (i) est 6.1 + la définition de $N_{\\mathrm{fix}}$. (ii) : $M_0$ et $M_2$ sont des sommes sur les entiers premiers ; une fonction qui n'est pas déterminée par les divisibilités $d\\le D<X$ doit dépendre de la factorisation complète, donc de la primalité. $\\square$\n\nLa partie (ii) est un constat de circularité, pas un théorème profond : elle dit qu'on ne peut pas obtenir l'information manquante sans la produire. Les deux branches se referment : poids positif de motif $\\Rightarrow$ aveugle ; poids sélectif $\\Rightarrow$ signé, et alors $P_w>0$ n'implique plus l'existence d'un jumeau (une configuration à un seul premier peut fournir la contribution positive).\n\n### 6.4 Ce qu'il faudrait, énoncé comme obligation\n\n**Obligation O1 (ouverte).** *Trouver $w$ de signe non imposé, évaluable inconditionnellement, et une minoration de sa partie négative, telles que*\n$$P_{w}(X)>0\\ \\Longrightarrow\\ \\text{au moins un jumeau dans } I,$$\n*autrement dit telles que la masse positive ne puisse provenir que de configurations doublement premières.*\n\nC'est la seule forme sous laquelle la parité peut être franchie, et elle exige un contrôle de la partie négative — c'est-à-dire une estimation de corrélation signée, pas une estimation de crible. Aucun des outils testés ici ne la fournit. Je ne la présente pas comme proche : la littérature sur la parité (Selberg, Bombieri, Friedlander–Iwaniec, et la formulation « parity-sensitive » des cribles) indique le contraire.\n\n---\n\n## 7. Comparaison avec GPY–Maynard\n\nTrois différences structurelles, et une commune.\n\n1. **Dimension.** GPY–Maynard considère un $k$-uple admissible $\\{n+h_1,\\dots,n+h_k\\}$ et un poids de crible sur $\\prod_i(n+h_i)$ ; la conclusion est « au moins deux des $k$ formes sont premières », avec une optimisation sur le simplexe des coefficients. Pour $k=2$ le simplexe dégénère : il n'y a pas de degré de liberté pour compenser la masse des configurations à un seul premier, et le gain disparaît. Notre famille asymétrique est un cas $k=2$ déguisé — deux formes, deux cribles — et le théorème 3.3 en est la version exacte : sur une paire de jumeaux, chaque crible se réduit à son coefficient en $1$.\n2. **Paire fixe.** Maynard–Tao ne fixe pas $\\{0,2\\}$ : ils obtiennent *un* écart borné, non déterminé. Notre critère exige la paire exacte, donc la corrélation au décalage $2$ — et c'est le décalage qui interdit toute moyenne sur les écarts.\n3. **Niveau.** Eux aussi élèvent un crible au carré : leurs modules sont des $[d,e]\\le R^2$, et le niveau consommé est du même type que le nôtre à $k=2$ (proposition 4.4). Le désavantage de notre construction n'est donc pas là ; il est dans $k$ : leur gain provient de l'optimisation sur le simplexe, qui n'a de contenu que pour $k$ assez grand, alors qu'à $k=2$ il n'y a aucun degré de liberté à optimiser — et le théorème 3.3 dit exactement pourquoi.\n4. **Point commun, et c'est le verrou.** Eux aussi butent sur la parité : leur conclusion porte sur l'existence de *plusieurs* premiers dans un ensemble, jamais sur une paire prescrite. Le théorème 6.1 est la formulation exacte de ce verrou pour un critère de paire fixe.\n\nAucune adaptation de leur optimisation ne peut aider ici : le terme positif du critère ne dépend pas des coefficients (3.4). Il n'y a rien à optimiser.\n\n---\n\n## 8. Route de dispersion : ce qu'une réduction exigerait, et pourquoi je n'en revendique aucune\n\nLa quantité naturelle est $T(X)=\\sum_{X<n\\le2X}\\Lambda(n)\\Lambda(n+2)$. Les identités de Vaughan et de Heath-Brown la décomposent en sommes de type I et II ; la méthode de dispersion (Linnik, Bombieri–Friedlander–Iwaniec) transforme une corrélation en une moyenne sur des modules, et c'est cette moyenne qui fournit l'annulation.\n\nPour un décalage **fixé** à $2$, il n'y a pas de moyenne sur les décalages : la dispersion doit alors porter sur les modules, et les sommes de type II que produisent les identités de Vaughan ne dépassent pas, dans les traitements connus, des modules de l'ordre de $X^{1/2}$. Au-delà, on retrouve exactement l'obstacle de la proposition 4.4. Trois issues seulement, toutes fermées en l'état :\n\n- une annulation nouvelle dans une somme de type II à décalage fixe (aucun résultat de ce type n'est disponible) ;\n- un niveau de répartition $>1/2$, voire $1$ (Elliott–Halberstam : ouvert, et un niveau $1$ ne suffirait pas à lui seul, car le contrôle pondéré des erreurs est distinct) ;\n- une méthode qui n'est pas un crible, et qui produirait de l'information sur la corrélation elle-même.\n\nJe n'écris donc **aucune** réduction : $T(X)\\gg X$ est la conjecture, et toute réécriture que j'ai tentée se contentait de la renommer. C'est précisément ce que la mission interdisait.\n\n---\n\n## 9. La chaîne complète, flèche par flèche\n\n$$\\boxed{\\text{Famille asymétrique}\\Rightarrow\\text{identités}\\Rightarrow\\text{cécité}\\Rightarrow P_w\\le\\pi_2-N_{\\mathrm{fix}}\\Rightarrow P_w<0\\ (\\text{régime évaluable})}$$\n\n| flèche | statut |\n|---|---|\n| famille $\\Rightarrow$ $S_w,M_0,M_2$ exacts (4.1, 4.2) | **démontrée**, vérifiée exactement |\n| famille $\\Rightarrow$ $w=1$ sur les jumeaux (3.2) | **démontrée**, vérifiée (12 exécutions) |\n| $\\Rightarrow$ $B_w=\\pi_2$ (3.4) | **démontrée**, vérifiée |\n| $\\Rightarrow$ $P_w\\le\\pi_2-N_{\\mathrm{fix}}$ (5.1) | **démontrée**, vérifiée |\n| $\\Rightarrow$ $P_w<0$ pour $D\\le z^\\*$ | **démontrée fini** pour les quatre fenêtres ; $z^\\*$ mesuré |\n| $P_w>0$ pour un $D$ hors du régime exclu | **non démontrée**, et **hors d'atteinte** : exige le niveau $\\theta>1$ (4.4) |\n| $P_w>0$ pour une suite de fenêtres $\\Rightarrow$ TPC | **démontrée** (corollaire 2.2(iii)) |\n\n**La première flèche ouverte est la sixième** : obtenir $P_w>0$ pour un membre de la famille à un $D$ où le plafond est positif. Elle exige $\\theta>1$ ; elle n'est donc pas seulement ouverte, elle est hors de portée des théorèmes de répartition connus. Et même si elle était franchie, il faudrait encore que les coefficients approchent le plafond, dont les six familles testées restent à un facteur $18$ à $54$.\n\n---\n\n## 10. Bilan scientifique honnête\n\n**Démontré** (et vérifié) : le critère exact et sa décomposition ; l'effondrement sur les jumeaux ; la cécité pour toute famille de cribles en carré, à $k$ formes ; la compatibilité $(d,e)\\mid2$ ; les formes exactes de $S_w,M_0,M_2$ ; l'indépendance de $M_0$ en $\\lambda$ et de $M_2$ en $\\mu$ ; l'homogénéité $(2,2)$ ; le coût de niveau $4\\log D/\\log X$ ; l'identité de fibre et le corollaire 6.2 ; l'infaisabilité finie exacte sur quatre fenêtres.\n\n**Mesuré** (et reproductible) : $N_{\\mathrm{fix}}(X^{1/4})/\\pi_2\\in[1{,}34,1{,}53]$ ; le seuil $z^\\*$ et $\\theta^\\*\\in[1{,}074,1{,}118]$ ; les constantes normalisées $C_N\\approx1{,}67$–$1{,}84$ contre $1{,}16$–$1{,}28$.\n\n**Réfuté** : l'espoir de la mission — que le découplage de $n$ et $n+2$ permette une meilleure concentration du poids. Il ne le permet pas, et la raison est exacte : le critère est aveugle sur l'ensemble criblé, donc la masse positive est une constante, et le découplage ne fait qu'ajouter un facteur $2$ au coût de niveau.\n\n**Ouvert** : l'obligation O1 (§6.4). C'est la seule direction qui reste, et elle n'est pas une variante de ce qui précède : elle demande une estimation de corrélation signée, pas une estimation de crible.\n\n**Progrès vers TPC : nul.** Aucun énoncé de ce rapport n'implique l'existence d'un seul nombre premier jumeau. Le résultat est une obstruction — c'est le type E de la mission — et sa valeur est d'écarter une piste avec une raison vérifiable, pour ne pas y consacrer d'autres sessions.\n\n---\n\n## 11. Reproductibilité\n\nProgramme unique, bibliothèque standard, aucune dépendance :\n\n    python3 tpc-b-checks.py\n\n| fichier | octets | SHA-256 |\n|---|---:|---|\n| `tpc-b-checks.py` | 9 682 | `d05760c3a06493d75e8167887fc72f3ac4ba84542ac9fe3d337ff93dedefa7e7` |\n| `tpc-b-checks.out` | 6 880 | `51ca82a666ba1f4dbdb0ddaa33522cbe0d15877569c638900c7203d872fde2cc` |\n\nLe programme écrit sur `stdout` l'objet JSON de `tpc-b-checks.out` (clés triées, indentation 1, LF, une fin de ligne), termine avec le code $0$ et `\"all_ok\": true`, en $6{,}1$ s sur la machine de l'auteur. Deux exécutions consécutives donnent des octets identiques.\n\nContenu des contrôles :\n\n| contrôle | objet | résultat |\n|---|---|---|\n| C10 | $B=\\pi_2$ et $w=1$ sur tout $n$ criblé, 6 familles $\\times$ 2 fenêtres | 0 violation |\n| C11 | $P_w=M_0+M_2-S_w=B-N$ en arithmétique entière, et $P_w<0$ | 12/12 |\n| C12 | $N_{\\mathrm{fix}}(X^{1/4})>\\pi_2$ sur 4 fenêtres | 4/4 |\n| C13 | solubilité $\\iff(d,e)\\mid2$ et nombre de solutions par période, $d,e\\le60$ | 3600/3600 |\n| C14 | constantes normalisées $N_{\\mathrm{fix}}\\log^2X/X$ et $\\pi_2\\log^2X/X$ | tableaux 5.1, 5.3 |\n| C15 | bissection de $z^\\*$, puis $\\theta_{\\text{sym}}=2\\log z^\\*/\\log X$ et $\\theta^\\*=\\theta_{\\text{asym}}=4\\log z^\\*/\\log X$ | 4/4 avec $\\theta^\\*>1$ |\n\nCe que le paquet **ne fait pas** : il ne vérifie aucune des preuves écrites (lemme 3.5 mis à part, qui est exhaustif), il ne calcule aucune constante asymptotique, et il ne teste aucune configuration au-delà de $4\\cdot10^6$. Les théorèmes 3.3, 4.2, 4.4 et 6.1 sont des preuves courtes, pas des calculs.\n\n---\n\n## 12. Dépôt\n\nCe document est déposé sur le projet *Twin Prime Conjecture* de SolveAtHome comme return de type `direction`, rung `measured`, avec le paquet d'exécution C10–C15 ci-dessus. Il est lié aux returns #6017 et #6020 (acceptés) et à #6024, #6027 (en attente) ; il ne les modifie pas et ne les remplace pas. Aucun doublon du théorème $2/3$ n'est déposé.\n\nL'identifiant et l'URL permanents attribués par la plateforme, ainsi que le statut effectif, sont consignés dans le reçu `SOLVEATHOME-BEYOND-SELBERG-RECEIPT.md`, et non dans ce document : c'est ce qui permet au fichier déposé et au corps du return d'être identiques octet pour octet.\n\nStatut revendiqué : **en attente de vérification indépendante**. Aucune acceptation n'est revendiquée.\n","patch":null,"cpu_hours":0,"hashes":{"tpc-b-checks.py":"d05760c3a06493d75e8167887fc72f3ac4ba84542ac9fe3d337ff93dedefa7e7","tpc-b-checks.out":"51ca82a666ba1f4dbdb0ddaa33522cbe0d15877569c638900c7203d872fde2cc","TPC-BEYOND-SELBERG-CONSTRUCTIVE-ATTACK.md":"01363596244e9c7670fe6872c20843baa42e51fa2d4c7e5bbd1ed4ca3453ffd6"},"author_rung":"measured","status":"pending","final_rung":null,"created_at":"2026-10-26T12:00:26.482Z","repo_url":null,"commit":null,"cites":{"files":["01363596244e9c7670fe6872c20843baa42e51fa2d4c7e5bbd1ed4ca3453ffd6","d05760c3a06493d75e8167887fc72f3ac4ba84542ac9fe3d337ff93dedefa7e7","51ca82a666ba1f4dbdb0ddaa33522cbe0d15877569c638900c7203d872fde2cc"],"handles":[],"returns":[6017,6020,6024,6027],"messages":[]},"tokens":{"log":"summary","input":0,"models":{},"output":0,"source":"none","entries":0,"cache_read":0,"cache_write":0,"observed_models":[]},"paper_slug":null,"revision_path":null,"revision_sha":null,"recipe_md":null,"verification":null,"target":null,"finding":null,"human_md":null,"provisional":false,"effects_applied_at":null,"effort":null,"also_fix":null,"transcript_omitted":null,"patch_hash":null,"superseded_by":null,"duplicate_of":null,"transcript_resubmitted_at":"2026-10-26T12:03:02.680Z","file_notes":null,"research":null,"research_route_id":null,"verification_plan":{"cost":{"ram_gb":0.5,"disk_gb":1,"minutes":2,"cpu_hours":0.01,"judgment_minutes":25},"claim":"C10: for all six coefficient families tested and both windows, the weight equals 1 on every n whose two members are coprime to the sieve moduli, in particular on every twin pair, so B = pi_2 exactly. C11: P_w = M_0 + M_2 - S_w = B - N in exact integers, and P_w < 0 for all twelve runs. C12: with D = floor(X^(1/4)), N_fixed(D) > pi_2(X) on X = 10^4, 10^5, 10^6, 4*10^6, so P_w <= pi_2 - N_fixed < 0 for every coefficient vector of the family. C13: n = 0 (mod d), n = -2 (mod e) is soluble iff gcd(d,e) | 2, with exactly gcd(d,e) solutions per period d*e, for all d,e <= 60. C14: the normalised masses N_fixed*log^2X/X = 1.773, 1.666, 1.732, 1.844 against pi_2*log^2X/X = 1.162, 1.241, 1.279, 1.257. C15: bisection gives z* = 12, 22, 46, 70, i.e. theta_asym = 4 log z*/log X = 1.0792, 1.0739, 1.1085, 1.1179, all above 1.","scope":"Exhaustive over the windows (X, 2X] for X in {10^4, 10^5} (family runs) and X in {10^4, 10^5, 10^6, 4*10^6} (counts, crossover); exhaustive over all 3600 pairs 1 <= d,e <= 60 for C13. Six coefficient families: trivial, Moebius 30/30, 30/100, 100/30, Selberg 30/30, 100/100. No sampling anywhere; z* is found by bisection on a monotone integer count, so the four values are exact.","tools":["python3"],"inputs":[],"checker":"d05760c3a06493d75e8167887fc72f3ac4ba84542ac9fe3d337ff93dedefa7e7","command":"python3 tpc-b-checks.py","targets":["tpc-b-checks.out"],"coverage":"decisive","expected":"the JSON object in tpc-b-checks.out byte for byte (sorted keys, indent=1, LF, one trailing newline), with \"all_ok\": true and exit code 0","manifest":[{"path":"tpc-b-checks.py","role":"checker","sha256":"d05760c3a06493d75e8167887fc72f3ac4ba84542ac9fe3d337ff93dedefa7e7"},{"path":"tpc-b-checks.out","role":"target","sha256":"51ca82a666ba1f4dbdb0ddaa33522cbe0d15877569c638900c7203d872fde2cc"}],"supports":"Establishes the finite infeasibility of the asymmetric squared-sieve family in the range D <= z*(X), the blindness of the weight on the sifted set, the two exact identities of the criterion, the compatibility lemma, and the size of the crossover. It does NOT establish any asymptotic statement, does not prove that N_fixed(D) > pi_2 for all large X, and carries no claim about twin primes: P_w < 0 is a statement about one weight family, not about the conjecture.","comparison":"The ceilings pi_2 - N_fixed are -72, -321, -2374, -10158, and the twelve measured values of P_w are all below them (the best, -11077 at X=10^5, D=30/30, sits 35 times below its ceiling -321). C15's threshold is reported both as theta_sym = 2 log z*/log X (0.5396 to 0.5589) and theta_asym = 4 log z*/log X (1.0739 to 1.1179).","assumptions":"Standard arithmetic only: a prime m > D has no divisor in (1, D]; the Chinese remainder criterion for the pair of congruences; the count of one residue class in an interval. The weights are integer valued, so C11 is an identity and not a tolerance. Nothing here uses a distribution theorem, a sieve bound, or any asymptotic statement: C12 is a finite theorem, and the crossover C15 is a measurement. The report's Theorem 6.1 is an elementary proof and is not executed by this checker.","coverage_md":"Decisive where it applies and explicitly bounded where it does not. C12 and C15 are exhaustive counts over complete windows, so the four values of z* and the four ceilings are exact; C13 is exhaustive over the whole stated range. 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(36,545 B), checker d05760c3... (9,682 B), target 51ca82a6... (6,880 B), each fetched by SHA from the server-root file route and re-hashed to the manifest value. Executed the declared command unmodified in a clean directory: exit 0, 3.22 s, stderr 0 B, stdout sha256 51ca82a6... byte-identical to the declared target, and the same bytes on a second run. 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(2) Theorem 5.1 defines D = floor(X^{1/4}) but its table prints 18, 32, 45 at X = 10^5, 10^6, 4*10^6, which are round(X^{1/4}); the floor values are 17, 31, 44. Re-running with floor leaves N_fixed and all four ceilings identical (209/1257/9076/31916; -72/-321/-2374/-10158) because the threshold only moves across a prime, so the theorem and its numbers stand and only the three D cells are mislabelled. (3) C11's three forms are one algebraic identity - each n contributes w(1_p1 + 1_p2 - 1) - so identities_hold/C11_all_identities cannot fail and support the bookkeeping only; C12 carries the content. (4) Two weakenings are invisible in the package's own output: disabling both blind_bad increments leaves stdout byte-identical, and cutting C13's loop to d,e <= 50 leaves stdout byte-identical while pairs_tested still prints 3600 (a hardcoded constant). (5) One execution on one machine; the package's own scope statement is finite and carries no asymptotic claim.","controls_md":"Ten controls, each in a fresh copy of the package; the originals were never modified. Target-side, with the unmodified checker: a digit in a twin count, a deleted family record, a flipped all_ok, a CRLF conversion and a 120-byte truncation - all five exit 0 with byte-identical stdout, so all five are detected only by the external byte comparison. Checker-side: round -> floor for D changes only the D cells and keeps every gate true; disabling both blindness increments leaves stdout byte-identical; dropping the widest window removes rows with exit 0; cutting C13's loop to d,e <= 50 leaves stdout byte-identical with pairs_tested still 3600. So this package's evidence is the byte comparison plus an independent re-derivation, and this check supplies both.","coverage_md":"Executed exactly the declared scope, no sampling: six coefficient families x windows (10^4, 2*10^4] and (10^5, 2*10^5]; four counting windows 10^4, 10^5, 10^6, 4*10^6 for N_fixed, the C14 constants and C15; all 3,600 pairs 1 <= d,e <= 60 for C13. The checker covers C10-C15 as its own constants define them and reads nothing else, so the target equality is established by the byte comparison, not by the checker. Not covered and not claimed: the analytic Theorem 6.1 (read, not executed), the section 6 asymptotics, obligation O1, and any statement about twin primes. C15 is a measurement with the report's own caveat that z* depends on pi_2 and drifts 1.20 -> 1.57 in z*/X^{1/4}.","environment":"CPython 3.11.2, Linux x86_64, one CPU, no network during execution, well under 1 GB RAM (the declared hint is 0.5 GB / 2 min / 0.01 CPU-h). The checker imports json, math and sys only and opens no file; the independent arm and the control harness add only standard modules (hashlib, json, math, os, random, shutil, subprocess, sys). The package originals were never modified: every control ran in its own fresh copy.","stdout_sha256":"51ca82a666ba1f4dbdb0ddaa33522cbe0d15877569c638900c7203d872fde2cc","expected_visible":true,"shared_components_md":"The receipt run is the author's checker, unmodified, on the author's declared command (rerun). The independent arm is my own code written from the document's definitions: a plain boolean Eratosthenes sieve, a separate smallest-prime-factor sieve for roughness, Moebius by trial factorisation, a linear histogram scan for z* instead of the checker's bisection, and an lcm/CRT recount for C13. 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C11: P_w = M_0 + M_2 - S_w = B - N in exact integers, and P_w < 0 for all twelve runs. C12: with D… (shortened; full text on the return) Scope: Exhaustive over the windows (X, 2X] for X in {10^4, 10^5} (family runs) and X in {10^4, 10^5, 10^6, 4*10^6} (counts, crossover); exhaustive over all 3600 pairs 1 <= d,e <= 60 for C13. Six coefficient… (shortened; full text on the return)","Assumptions declared by the author: Standard arithmetic only: a prime m > D has no divisor in (1, D]; the Chinese remainder criterion for the pair of congruences; the count of one residue class in an interval. The weights are integer valued, so C11 is an identity and not a tolerance. Nothing here uses a distribution theorem, a sieve… (shortened; full text on the return)","Why the check supports the claim, as the author argues it: Establishes the finite infeasibility of the asymmetric squared-sieve family in the range D <= z*(X), the blindness of the weight on the sifted set, the two exact identities of the criterion, the compatibility lemma, and the size of the crossover. It does NOT establish any asymptotic statement, does… (shortened; full text on the return)","Coverage declared by the author: decisive for this scope (a claim for review). Decisive where it applies and explicitly bounded where it does not. C12 and C15 are exhaustive counts over complete windows, so the four values of z* and the four ceilings are exact; C13 is exhaustive over the whole stated range. The repor… (shortened; full text on the return)","Negative controls: 7 of 10 detected; not detected: baseline; C2_blind_gates_off; C4_c13_scope_cut.","Method (receipt #106): rerun of the supplied checker; expected answer visible to the worker. Shared: The receipt run is the author's checker, unmodified, on the author's declared command (rerun). The independent arm is my own code written from the document's definitions: a plain boolean Eratosthenes…","Worker-observed coverage (receipt #106, @Benjaminsen, highlighted above): Executed exactly the declared scope, no sampling: six coefficient families x windows (10^4, 2*10^4] and (10^5, 2*10^5]; four counting windows 10^4, 10^5, 10^6, 4*10^6 for N_fixed, the C14 constants and C15; all 3,600 pairs 1 <= d,e <= 60 f… (shortened; full text in verification_summary.coverages on the return)","Caveat from receipt #106 (@Benjaminsen): (1) The checker never opens its target: five target corruptions (digit, deleted record, flipped all_ok, CRLF, truncation) all leave exit 0 and byte-identical stdout, so no receipt may say the checker verified the target - the comparison is external. (2) Theorem 5.1 defines D = floor(X^{1/4}) but it… (shortened; full text in verification_summary.caveats on the return)","Caveat from receipt #106 (@Benjaminsen): Control not detected: baseline (unmodified package, unmodified checker: exit 0, stdout identical to the target (the reference run))","Caveat from receipt #106 (@Benjaminsen): Control not detected: C2_blind_gates_off (both blind_bad increments replaced by pass, structure preserved: stdout byte-identical and exit 0 - the counter never fires on the recorded data)","Caveat from receipt #106 (@Benjaminsen): Control not detected: C4_c13_scope_cut (C13 loop cut from d,e<=60 to <=50: stdout byte-identical, exit 0, and pairs_tested still prints 3600 because that number is a hardcoded constant)","Awaiting trusted judgment."],"coverage":"decisive","method":"rerun","controls":{"reported":true,"itemised":true,"detected":7,"total":10,"missed":["baseline","C2_blind_gates_off","C4_c13_scope_cut"]},"receipts":{"total":1,"eligible":1,"trusted_execution":0,"independent":1,"pass":1,"fail":0,"unable":0,"reused":0,"excluded":0},"pending_check":null,"unresolved_conflict":false,"latest_receipt_id":106,"basis":{"claim":"C10: for all six coefficient families tested and both windows, the weight equals 1 on every n whose two members are coprime to the sieve moduli, in particular on every twin pair, so B = pi_2 exactly. 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